通过特征方程基于数列递推式构造通项公式的方法
一、两项式递推公式的数列通项
1.形如 a_{n+1} = pa_{n} + q
step 1. 特征方程化：
所求的 x 为特征根
step 2. 减去特征根：
构造
step 3. 求通项公式：
得到数列 \left \{ a_{n} - x \right \} 的公比，接下来求出首项，并由此写出通项公式。
通过移项，得到 \left \{ a_{n}\right \} 的通项公式，构造完成。
2.(1.变式)形如 a_{n+1} = \frac{pa_{n} + C_{1} }{ra_{n} + C_{2} }
step 1. 特征方程化：
根据二次函数根的判别式进行分类讨论
- 当 \Delta>0 时有两解，分别求出 x_{1},x_{2}
- 当 \Delta=0 时有唯一解 x，对 a_{n+1} -x= \frac{pa_{n} + C_{1} }{ra_{n} + C_{2} }-x 进行倒数处理可轻松解出通项公式
- 当 \Delta<0 时无实数解，则该数列可能为周期数列
step 2. 减去特征根（仅用于 \Delta>0 的情况）：
step 3. 求通项公式：
令 \left ( 1 \right ) 式与 \left ( 2 \right ) 式作比，可求得通项公式。
**[练习]**这种方法虽然看似暴力简单，但是需要对算式处理有一定能力，建议训练一道题
若 a_{1}=5，a_{n+1} = \frac{3a_{n} -4 }{a_{n} -1 } ，求 \left \{ a_{n}\right \} 的通项公式。
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[3/(3n-2)]+2二、三项式递推公式的数列通项
1.形如 Aa_{n+2} = Ba_{n+1}+Ca_{n} ，且已知 a_{1}，a_{2}
注意，该类型与前两种情况并不相同，上面的情况均为一阶递推，而对于 Aa_{n+2} = Ba_{n+1}+Ca_{n} 这样的二阶递推式构成的二阶线性齐次方程，我们特征方程也应该满足二阶形式。
step 1. 特征方程化：
根据二次函数二次函数根的判别式进行分类讨论
- 当 \Delta>0 时有两解，分别求出 x_{1},x_{2}
- 当 \Delta=0 时有唯一解，求出 x
- 当 \Delta<0 时无实数解，则该数列可能为周期数列
step 2. 构造数列通项公式：
- 当 \Delta>0 时：
a_{n} = \lambda\left ( x_{1} \right )^2 + \mu \left ( x_{2} \right )^2
- 当 \Delta=0 时：
a_{n} = \left ( \lambda n+\mu \right ) x^n
带入 a_{1}，a_{2} 解得 \lambda,\mu
带入即可求得数列通项公式
**[例题]**已知数列 \left \{ a_{n} \right \} 满足 a_{1}=1,a_{2} =2,且a_{n+1}=2a_{n}+3a_{n-1}(n\ge 2) 则数列的通项公式为
[解答]
特征方程化
解得
构造数列
带入 a_{1}=1,a_{2} =2
解得
得
整理得
三、为什么我们可以用特征方程求解
如果有微分方程的基础，很容易发现这种特征方程的方法在求解微分方程的时候也会用到，特别是二阶常系数齐次线性微分方程。事实上，这两者在数学结构上确实有本质上的相似性。
1.线性齐次结构
无论是微分方程还是递推数列，均为二阶线性齐次方程。它们的解空间均为二维线性空间，需要两个线性无关的解来构造通解。
2.特征方程的产生
- 对于微分方程，假设解为指数函数 y=e^{rt}，代入方程得到特征方程 r^2+ar+b=0
- 对于递推数列，假设解为几何数列 a_{n}=r^n，代入后得到特征方程 r^2+pr+q=0
两者均通过假设解的特定形式（指数或几何级数），将方程转化为关于 r 的代数方程。
数列的递推关系本质上是离散的差分方程，与微分方程同属线性齐次系统。特征方程法通过寻找算子的特征函数（指数或几何数列），构建通解的结构。这种解法的普适性源于线性齐次系统的叠加原理与特征函数展开的统一框架。
因此，特征方法的核心在于利用线性系统的代数结构，将连续与离散问题转化为特征方程的求解，从而统一处理两类问题。这种联系深刻反映了数学中“结构相似性决定方法通用性”的思想。
——By JiomLan
