高中抽象函数题的个人理解

一、可用代数方法解决的题型

注：以下结论均可用数学归纳法进行证明，同样也可以作为“二级结论”记下，但是在考试时遇到建议用“特殊值赋值法”或“假设法”快速处理。

1.线性函数方程

曾在17世纪，著名的大数学家柯西就提出了一类名为“柯西方程”的抽象函数方程。这一类方程是形如

f\left ( x+y \right ) =f\left ( x \right ) +f\left ( y \right )

的函数方程。此函数方程被称为“加性柯西方程”，它的解是正比例函数。通过赋值 x=0、归纳法或变量替换可推导出 f\left ( x \right )，尤其当题目隐含连续性或给出 f\left ( 1 \right ) 的值时。一般，此类函数都具有单调性，且有连续性。

2.指数函数方程

如果满足

f\left ( x+y \right ) =f\left ( x \right ) f\left ( y \right )

我们不难发现令 x=y ，得

f\left ( 2x \right ) =f\left (x\right)^2

通过观察，我们发现上式在 x=n 时总有 n 次的关系，猜想该函数可能为指数函数。

于是赋值 x = 0 得 f(0) = 1，并结合 f(1) = a 可通过数学归纳法推出

f(x) = a^x

【数学归纳法证明过程如下】

若 f\left ( y \right ) \ne 0 ，令 x=0 ，带入方程，得

f\left ( 0+y \right ) =f\left ( 0 \right ) ·f\left ( y \right ) \Longrightarrow f\left ( 0 \right )=1

猜想

f(x) = a^x

当 x=1 时，假设 f\left(1\right)=a，则

f\left ( 1 \right ) =f\left (1\right)·f\left (0\right) = a^1

猜想成立。

假设对正整数 k，在 x=k 时，f\left ( k \right ) = a^k 成立，那么 x=k+1 时

f\left ( k+1 \right ) =f\left (k\right)·f\left (1\right) = a^{k+1}

即当 x=k+1 时，猜想成立。

因此，对于任意正整数 k ，有 f(k) = a^k 。

接下来推广到整数范围，由

f\left ( -1+1 \right ) =f\left ( -1 \right )·f\left ( 1 \right ) \Longrightarrow f\left ( 0 \right ) =f\left ( -1 \right ) ·a \Longrightarrow f\left ( -1 \right )=a^{-1}

同上数学归纳可得，对于负整数 -k ，有

f\left ( -k \right )=a^{-k}

综上所述，对于任意整数 k ，有

f(k) = a^k

至此，我们在用“特殊值赋值法”做题时可以放心的假设 f\left ( x+y \right ) =f\left ( x \right ) f\left ( y \right ) 是一个指数函数，因为一般情况下赋值只会使用整数。但是，从更广阔的角度来说，我们可以继续尝试证明在有理数集内该结论成立。

设 x=\frac{p}{q} ，其中 p,q 为整数 , q>0 ，由

f\left ( \frac{p}{q}·q \right ) = f\left ( \frac{p}{q} \right )^q \Longrightarrow f\left ( p \right ) =f\left ( \frac{p}{q} \right )^q

可得

a^p = f\left ( \frac{p}{q} \right )^q

解得

f\left ( \frac{p}{q} \right ) = a^{\frac{p}{q}}

如果已经有连续条件，则唯一解为

f(x) = a^x (a>0)

代入原方程，显然成立。

3.对数函数方程

如果满足

f\left ( xy \right ) =f\left ( x \right ) +f\left ( y \right )

根据经验可得这种形式的方程满足我们的对数运算法则，猜想可能与对数有关。

通过赋值 x = 1 得 f(1) = 0，并结合定义域为正实数可以通过数学归纳法推出

f\left ( x \right ) = \log_ax

这里就不再详细证明，有兴趣的读者可以自己证明。

4.周期性与奇偶函数问题

这类问题最好通过画图手段解决，在开始处理问题时，可以通过变量替换化为类似

f\left(x\right) +f\left(x+C_{1}\right) = ……

的形式，方便观察。当然如果满足其他轴对称或者点对称的形式也可以考虑其他替换法，这一类比较常见且教辅资料常有，这里不做额外补充。

5.线性递推关系

这一类抽象函数方程问题可以视作数列的递推问题，其解法多样，可通过特征方程或迭代法求解通项公式。

以上五类问题是我做题中常见的五种类型，也是高考最常考的。要解决此类问题，不但要把基础解题技巧学会，更要对规律有敏感的把握，要大胆的“先猜后证”，并且善用数学归纳法。

二、不可用代数方法解决的题型

现在高考的考察形式更加灵活多样，像是更加复杂的形式也可能出现在题目当中，一般这类问题有以下通性：

缺乏唯一解的函数方程
非初等函数解的函数问题
复杂的多变量方程

事实上，面对这样的问题，我们考虑的过多反而影响解题速度，按部就班的使用最基础的“特殊值赋值法”从而发现可能存在的“规律”即可在穿花寻路中解决问题。这类问题的考察难度一般不会很大，所以掌握好基础解题技巧，如作比、作差、单调性证明等是十分重要的。

三、总结

高中范围内的抽象函数题大多可以通过特殊构造或赋值法解决，关键在于能否仔细分析每一个条件，并且多次尝试获取更多信息来写题。事实上，此类问题难度普遍较高，但考察点并不会很难，沉着冷静才是解题的重中之重。

——By JiomLan