拉格朗日乘数法详解：高中生也能看懂的最值求解教程
一、问题背景
假设我们要在有约束条件的情况下求函数的最大值或最小值。例如：
- 用固定长度的篱笆围出最大面积的矩形
- 在固定预算下购买商品组合获得最大效用
虽然在高中，这类题只需要使用基本不等式就可以轻松解决，但是对于更复杂的有约束条件的极值问题，我们可以用拉格朗日乘数法高效解决。
二、方法核心思想
当函数 f\left (x,y \right ) 在约束 g\left (x,y \right )=0 下取极值时，函数与约束的等高线相切，此时两曲线的梯度方向平行。
三、详细步骤（以二维为例）
步骤 1：构造拉格朗日函数
构造新函数：
其中 ( \lambda ) 称为拉格朗日乘子
当然，我作为一名普通高中生，第一次见到这样的式子也确实感到头疼，不过接下来，让我们拾起一把新的武器——偏导数。
1. 偏导数是什么？（高中生版）
想象你站在一个山坡上，f\left (x,y \right ) 表示不同位置的海拔高度。
-
对 x 的偏导数：只沿着东西方向走时，高度的变化率
\frac{\partial f}{\partial x} = 在 x 方向的海拔变化快慢 -
对 y 的偏导数：只沿着南北方向走时，高度的变化率
\frac{\partial f}{\partial y} = 在 y 方向的海拔变化快慢
那么我们如何进行偏导数的求导运算呢，其实非常简单，这里我们只需要有主元思想
比如对于
如果我们要进行求对 x 的偏导数，那就要以 x 为主元进行求导。更简单的理解就是把 x 作为唯一的自变量，而把 y 当做一个系数进行求导，
求对 y 的偏导数，
如此看来，求偏导数的运算其实并不复杂，只不过是这样奇异的运算符号会给人莫名高深的感觉，当然，偏导数本身是有严格的数学定义的，还是建议读完本文之后进一步去了解一下这样实用的数学工具。
2. 拉格朗日函数的组成
- f\left (x,y \right ) ：你的目标函数（比如面积、利润等）
- g\left (x,y \right )=0：必须满足的约束条件（比如周长固定、预算限制等）
- \lambda ：一个“调节系数”，用来平衡目标和约束之间的关系
3. 为什么这样构造？
当你在约束条件下找极值时，相当于在“允许的路径”上找最高点与最低点。拉格朗日函数通过 \lambda 将约束条件“融合”到目标函数中，使极值点满足两个条件：
- 目标函数的增长方向与约束条件允许的方向一致。
- 约束条件本身被严格满足（即 g\left (x,y \right )=0 ）
步骤 2：求偏导数并设为零
对每个变量求偏导：
步骤 3：解方程组
解这组方程得到候选点 \left ( x,y \right ) 与 \lambda，每个点对应一个可能的极值，可以类比基本不等式的去等条件“当且仅当”。
在我们把得到的候选点 \left ( x,y \right ) 带入f\left (x,y \right ) 后求出来的就是我们的极值。
步骤 4：验证极值类型
比较各候选点的函数值，找出最大值与最小值（也有可能存在只有最大值或最小值的情况）
不过光看以上理论方法并不能有效理解拉乘在高中的运用，还是来点例题加深一下印象吧！
四、例题
问题 (2007上海卷第五题)：若实数x，y满足x+4y=1，则xy的最大值为
解答：
构造函数
令
解得
带入
则所求的 xy 的最大值为
实际上，这样的方法除了几乎万能以外并没有太多优势，拉乘的确可以帮你暴力计算高中你遇到的所有不等式题，减少你的思考压力，但是解一个复杂的方程组也并不是什么高明的选择，如果可以稍作思考想到基本不等式或者其他更好的做法，我并不推荐直接使用拉乘（除非你计算能力逆天且注意力惊人）
五、注意事项
- 多个解的情况：可能出现多个候选点，需全部计算比较
- 边界检查：当变量有自然限制时（如长度>0），需检查边界值
- 几何验证：当约束条件为闭合曲线时，极值一定存在（高中一般不会遇到这种问题，要么求出唯一一个最大值或者最小值，要么求出来两者）
当然，拉乘肯定不局限于二维，也就是二元形式，一元式子求极值也可用拉乘，多元式子求极值也可以用拉乘。对于一元式子，我们可以考虑用换元的方法把他变成二元的，多元情况下那可能就需要很强的计算力，或者——Attention is all you need.
开个玩笑，这里举一个经典的一元换元方法：
对于求下式的最值
我们不妨令
可得约束
此时，问题转化在以上约束下求下二元函数最值
这样我们就可以愉快的使用拉乘了
当然，使用这样的方法的时候一定要注意定义域，注意去等条件是否可以满足
六、方法原理（高中生版）
直观理解
当函数 f 的等高线与约束曲线 g=0 相切时：
- 在切点处，两曲线的变化趋势相同
- 这意味着它们的梯度向量成比例：\nabla f = \lambda \nabla g
数学推导简版
设曲线上某点\left ( x,y \right )是极值点，则在该点沿曲线方向的导数应为零：
同时满足约束条件：
这说明 \nabla f 与 \nabla g 共线，即存在比例系数 \lambda
通过这个方法，我们可以将复杂的约束优化问题转化为方程组求解问题。记得多做练习来巩固理解！
——By JiomLan
